บทที่ 1

ความรู้พื้นฐาน

 

1.1    บทนำ

สถิตยศาสตร์และความแข็งแรงของวัสดุ  เป็นหลักการพื้นฐานของวิชาทางกลศาสตร์ทุกวิชาทั่วไป ในบทนี้จะกล่าวถึงพื้นฐานและหนังสืออ้างอิงอ่านประกอบ สำหรับเนื้อหาส่วนที่เหลือ ของวิชานี้

1.2    ปริมาณแวกเตอร์และปริมาณสเกล่าร์

โดยทั่วไปแล้ว ปริมาณใดๆ ที่มีทั้งทิศทางและขนาด จะเรียกว่า ปริมาณเวกเตอร์ มันต้อง มีทิศทางจึงจะสมบูรณ์และเรียกเป็นปริมาณเวกเตอร์ได้ ทิศทางของปริมาณเวกเตอร์ต้องมีการระบุอย่างชัดเจน หรือสามารถทราบได้จากในโจทย์ปัญหา ปริมาณสเกล่าร์ เป็นปริมาณที่มีแต่ขนาดเท่านั้น มันมีความสมบูรณ์ อยู่ในตัว โดยไม่ต้องมีการระยุถึงทิศทางแต่อย่างใด ตัวอย่างเช่น พื้นที่ , ความหนาแน่น , อุณหภูมิ , และกำลัง ปริมาณในการวัดอื่น ๆ มักจะเป็นปริมาณเวกเตอร์ ตัวอย่าง เช่น แรง , ความเร่ง

1.3 คำนิยามของศัพท์เทคนิคพื้นฐาน

มวล  (Mass)คือการวัดปริมาณของสสาร ค่านี้จะเกี่ยวข้องกับความเฉื่อยของวัตถุ และมักจะพิจารณาว่าคงที่

ความยาว  (Length)  คือ  ระยะทางที่เดินทางไปได้ตามเส้นตรงหรือเส้นโค้ง จากจุดเริ่มต้นจนถึงจุดปลาย

เวลา  (TIME)  คือ ช่วงเวลาระหว่างการกระทำหรือการเคลื่อนที่เกิดขึ้น

หมายเหตุ :  มวล , ความยาว และเวลา เป็นปริมาณสเกล่าร์ หน่วยของปริมาณเหล่านี้ เป็น หน่วยพื้นฐานของระบบการวัด หน่วยทางกลศาสตร์อื่น ๆ จะได้รับการพิจารณาหรือคำนวณต่อมา เป็นหน่วยขั้นทุติยภูมิ

แรง   (Force)  คือ การกระทำบนวัตถุใด ๆ ที่ทำให้มันเคลื่อนที่ หรือหยุด หรือเปลี่ยน ความเร็วหรือ ทิศทางในการเคิ่อนที่ของมัน แรงมักจะทำให้เกิดความเร่ง ทิศทางของความเร่ง ที่เกิดจะเป็นทิศเดียวกัน กับทิศทางของแรง และขนาดของความเร่งจะแปรผันตามขนาดของแรง แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์

โมเมนต์  (Moment)  คือ การวัดการหมุนที่แรง หรือแรงคู่ควบใด ๆ กระทำ ให้เกิดการหมุนรอบจุด อ้างอิงจุดหนึ่ง ๆ โมเมนต์เป็นปริมาณสเกล่าร์ แต่ปกตอมักจะถือเครื่องหมายเพื่อบ่งบอกว่า หมุนตามเข็มนาฬิกา หรือหมุนทวนเข็มนาฬิกา โปรดจำไว้ว่า แรงเดี่ยว ๆ สามารถก่อให้ เกิดการหมุนตามเข็มนาฬิกา รอบจุดอ้างอิง จุดหนึ่ง และขณะเดียวกันทำให้เกิดการหมุนทวนเข็มนาฬิกา รอบจุดอ้างอิงอีกจุดหนึ่งได้เช่นกัน

แรงคู่ควบ (Couple) คือ คู่ของแรงที่ขนานกัน และมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน มันมีผลเพียงก่อให้เกิดโมเมนต์เท่านั้น และการเคลื่อนที่จากผลของแรงคู่ควบคือการหมุนรอบตัวเอง

ความดัน  ( Pressure)  คือ แรงกระทำภายนอกที่กระทำลงบนพื้นที่หนึ่งหน่วย มันมักจะคำนวณได้ จากการรวมแรงภายนอกทั้งหมด ที่กระทำลงบนวัตถุหรือสิ่งของ แล้วหารด้วยขนาดพื้นที่หน้าตัดทั้งหมดของ วัตถุหรือสิ่งของ เมื่อความดันเกิดจากแรง มันจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ด้วย อย่างไรก็ตาม ถ้าเป็นความดัน ไฮโดลิคจากแรงดันที่กระทำทุกทิศทางทิศทางของความดันไฮโดลิคนี้จะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจ

จุดศูนย์กลางมวล  (Centroid)   คือ จุดศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงของพื้นที่ระนาบ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความหนาของพื้นที่

โมเมนต์ของความเฉื่อย  ( Moment of inertia )  ปริมาณนี้ยากต่อการสร้างภาพให้เข้าใจ มันเกี่ยวข้องกับความสามารถของคานที่มีขนาดพื้นที่หน้าตัดนั้น ในการต้านการดัด สามารถอธิบายได้ดีที่สุดจากสมการทางคณิตศาสตร์

I =  ƒy² dA

 

สมการนี้แสดงการรวมของผลคูณของแต่ชิ้นส่วนเล็ก ๆ จำนวนมากเข้าด้วยกัน และแต่ละส่วน คูญด้วยเลขยกกำลังสองของระยะทางของชิ้นส่วนนั้น ไปยังจุดศูนย์กลางมวลของพื้นที่ทั้งหมด ในหัญหาเทคนิค โดยทั่วไปค่าโมเมนต์ของความเฉื่อยสามารถหาได้จากตารางอ้างอิง

น้ำหนัก  (Weight)  คือ การวัดแรงของแรงโน้มถ่วงโลกที่กระทำต่อวัตถุ น้ำหนัก เป็นปริมาณที่เปลี่ยนแปลงได้มาด ทั้งนี้เนื่องจากมัยแปรผันตามมวลของวัตถุ ตามระยะทางที่ห่างจากจุดศูนย์กลางของโลก และจากความเข้มของสนามแรงโน้มถ่วงของโลก อย่างไรก็ตาม ในปัญหาทางเทคนิคทั่วไป ไม่ค่อยมีการผิดพลาดนักไนการที่กำหนดให้ค่าน้ำหนัก เป็นค่าคงที่ มันเป็นปริมาณเวกเตอร์ แต่ทิศทางของมันไม่ค่อยได้ถูกพิจารณาเนื่องจากมันจะชี้ลงดินหรือสู่ใจกลางโลกตลอดโดยสามารถคำนวณหาน้ำหนักได้โดย

                            W            =             mg

โดยที่

            W            =             น้ำหนักมีหน่วย เป็น นิวตัน(N)

            m             =             มวลมีหน่วยเป็นกิโลกรัม(kg)

            g              =             ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกมีค่าประมาณ 9.81 m/s2หรือ 32.2 ft/s2

พื้นที่  ( Area )  เป็นการวัดค่าสามมิติ หรือยกกำลังสองของพื้นที่ผิวเรียบหรือผิวโค้ง พื้นที่                     

                        เป็นปริมาณเกล่าร์

ปริมาตร  (Volume)  เป็นการวัดค่าสามมิติ หรือยกกำลังสามของสเปซว่างใด ๆ ปริมาณ                        

                       เป็นปริมาณสเกล่าร์

ความหนาแน่น  (Density) คือมวลหรือน้ำหนักของวัตถุหรือสสาร ที่ปริมาณอยู่ 1 หน่วยปริมาตรความ

                       หนาแน่นเป็นปริมาณสเกล่าร์

                            =

                            โดยที่

                            =ความหนาแน่น

                            m=มวลของวัตถุ

                            v=ปริมาตรของวัตถุ

 

การขจัด  (Displacement)  คือความยาวของเส้นตรงที่วัดจากจุดเริ่ม ไปยังจุดปลายของเส้นทางเดินใด ๆ เมื่อ

                       การขจัดจำเป็นต้องระบุทิศทางเพื่อให้สมบูรณ์ การขจัด จึงเป็นปริมาณเวกเตอร์

อัตราเร็ว  (Speed)  การวัดการเคลื่อนที่ต่อหน่วยเวลา เป็นปริมาณสเกล่าร์

ความเร็ว  (Velocity) คือ ความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่อยู่ ในขณะใด ๆ ในทิศทางเฉพาะ  เป็นปริมาณเวกเตอร์

ความเร่ง  (Acceleration)  คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ความเร่ง เป็นปริมาณเวกเตอร์

 

กฎของนิวตัน

กฎของนิวตัน กล่าวถึงเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุและได้ทดลองยืนยันให้เห็นถึงความเป็นจริงของกฎทั้ง3 ข้อ ดังนี้

 

ข้อที่ 1      อนุภาคจะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ ถ้าไม่มีแรงลัพธ์กระทำ  

             ต่ออนุภาคนั้น

            ข้อที่ 2       ความเร่งของอนุภาคจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุนั้นและทิศทาง

                          ความเร่งจะเหมือนกับทิศทางของแรงลัพธ์ และเราสามารถหาแรงที่มากระทำได้จาก

                                            F             =             ma

                                            โดยที่

                                                            F             คือ           แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ

                                                            m            คือ           มวลของอนุภาค

                                                            a              คือ           ความเร่งลัพธ์ที่เกิดขึ้นกับอนุภาค

ข้อที่ 3        แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาจะมีขนาดเท่ากัน และมีทิศทางตรงกันข้ามอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

1.3    การปัดเศษ

ต่อไปเราจะพิจารณาวิธีการทางสถิติในเรื่องของการปัดเศษ ถ้าเลขทศนิยมของจำนวนที่ ต้องการจะถูกตัดออกไป ให้ใช้วิธีการต่อไปนี้

 

1.ถ้าตัวเลขในหน่วยที่จะตัดทิ้งออกไปมีค่ามากกว่า 5 ให้ปรับค่าตัวเลขในหน่วยถัดมาทางซ้ายเพิ่มขึ้นอีก 1

ตัวอย่าง 1.1       3.14159 ปัดเป็นเศษ 3.1416

2. ถ้าตัวเลขในหน่วยที่จะตัดทิ้งออกไปมีค่าน้อยกว่า 5 ไม่ต้องมีการปรับค่าตัวเลขอย่างใด

ตัวอย่าง 1.2      3.142 เป็น 3.14

3. ถ้าตัวเลขในหน่วยที่จะตัดทิ้งออกไปมีค่าเท่ากับ 5 ให้ดูตัวเลขในหน่วยถัดมาทางซ้าย ถ้าเป็นเลขคี่ให้ปรับค่าขึ้นอีก 1 แต้ถ้าเป็นเลขคู่ ไม่ต้องมีการปรับค่าตัวเลขแต่อย่างใด

 

ตัวอย่าง 1.3     2.675 ปัดเป็นเศษ 2.68

ตัวอย่าง 1.4     8.85 เป็น 8.8

แม้ว่าความผิดพลาดที่เกิดขึ้นเนื่องจากการปัดเศษนี้ ไม่ค่อยมีปัญหากับการคำนวณทางเทคนิคมากนักแต่วิธีการปัดเศษอย่างเป็นระบบข้างต้นนี้ จะสามารถช่วยลดความผิดพลาด ในการคำนวณที่มีตัวเลขมากๆและสลับซับซ้อนได้เป็นอย่างดี

 

1.5 เลขนัยสำคัญ

ในการแก้ปัญหาต่างๆให้ปฏิบัติตามกฎของเลขนัยสำคัญ โดยทั่วไป ข้อมูลที่มีเลขนัยสำคัญน้อยที่สุด จะเป็นตัวกำหนดควบคุมเลขนัยสำคัญของข้อมูลอื่นๆถ้าข้อมูลหลักมีเลขนัยสำคัญตามที่กำหนด ข้อมูลอื่น๐รวมทั้งคำตอบที่ได้ก็จะมีเลขนัยสำคัญตามด้วย

ตัวอย่าง 1.5    โมเมนต์ = แรง x ระยะทาง

M = Fd

M = (24.6 xvofN) X (16.3 นิ้ว)

       = 401 ปอนด์-นิ้ว  (ปัดเศษจากค่า 400.98)

ในปัญหาที่ข้อมูลมีจำนวนตัวเลขนัยสำคัญต่างกันมาก ๆ เลขนัยสำคัญของคำตอบที่ได้ จะถูกตัดสินโดย ข้อมูลที่มีเลขนัยน้อยที่สุด ในบางกรณีอาจจะมีกาเพิ่มเลขนัยสำคัญขึ้นมา อีก 1 ตัวก่อนที่จะทำการคำนวณ

ตัวอย่าง 1.6       แรงเสียดทาน = แรงแนวตั้งฉาก x สัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทาน

 Fm = Nf

=(1675 ปอนด์) X (0.78)

=(1680 ปอนด์) X (0.78)

=1300 ปอนด์ (ปัดเศษจากค่า 1310.4)

 

 

 

 

1.6 วิเคราะห์มิติ

การวิเคราะห์มิติเป็นเครื่องมือในการตรวจสอบสอบความถูกต้อง ในการคำนวณอย่างหนึ่ง ทำได้โดยการใส่หน่วยเข้ากับตัวเลขทุกตัว แล้วทำการคำนวณตัดหน่วยเหล่าเหล่านี้ ในลักษณะเดียวกัน การคำนวณตัวเลข หน่วยสามารถ บวก ลบ คูณ หารได้เหมือนตัวแปรในสมการพีชคณิตทั่วไป

ตัวอย่าง 1.7            มวล =  ปริมาตร x ความหนาแน่น

                               M = Vu

                                   =(4.00 m)(920 kg/m)

                                   =3680 kg

จะเห็นได้ว่ามีการตัดหน่วย m ออก เหลือแต่เพียงหน่วย kg  เป็นหน่วยที่เหลืออยู่ และเป็น หน่วยของคำตอบ ซึ่งหน่วยนี้เป็นหน่วยที่ถูกต้องเหมาะสมสำหรับมวล ถ้าหน่วยเหลืออยู่ ไม่ใช่หน่วยที่เหมาะสมของ คำตอบ นั่นแสดงว่ามีการผิดพลาดในการคำนวณเกิดขึ้นแล้ว

1.7 ระบบหน่วย SI

หน่วย SI เป็นคำย่อของ System International d’Unites ระบบนี้คล้ายๆระบบเมตริค ซึ้งได้รับความนิยมใช้กันแพร่หลายไปในวงการเทคนิคทั่วโลกมันเป็นไปได้ที่ว่าUSA จะเปลี่ยนไปใช้ระบบนี้เพื่อให้สินค้าสินค้าอเมริกันสามารถแข่งขันกับตลาดโลกได้ การเปลี่ยนแปลงนี้จะเกิดขึ้นภายในเร็วๆนี้ ดังนั้นวิศวกรและช่างเทคนิคในปัจจุบัน ควรที่จะสามารถทำงานได้กับ ทั้งสองระบบหน่วย เนื้อหาในส่วนนี้จะกล่าวถึง ข้อมูลต่างๆ ของระบบ SI และได้ให้ตัวแปลงหน่วย(Conversion Factor)ในการเปลี่ยนค่าไปมา ระหว่างระบบหน่วย SI และค่าในระบบหน่วยอังกฤษ(British system)

 

หน่วยพื้นฐานในระบบ SI

ตารางที่ 1-1 แสดงหน่วยพื้นฐาน 7 หน่วย และหน่วยเสริมอีก 2 หน่วยในระบบ SI แต่ละหน่วยจะวัดปริมณเฉพาะ

หน่วยดัดแปลงในระบบหน่วย SI

หน่วยดัดแปลงต่างๆ เกิดจากการรวมกันของหน่วยพื้นฐานในระบบ SI หน่วยดัดแปลงหลายหน่วย มีชื่อเฉพาะของมันเอง เช่น หน่วยของ”แรง”จะเรียกว่า”นิวตัน(Newton’N)” ชื่อ ในหน่วยนี้ใช้แทน และหมายความถึง “กิโลกรัม-เมตร ต่อ วินาที²”

 

อุปสรรคและตัวคูณในระบบหน่วย SI

การคูณหน่วยพื้นฐานสามารถทำได้โดยการยกกำลังจาก 10 ตัวอย่างเช่น กิโลเมตร คือ 1000 เมตร, “กิโล” เป็นอุปสรรค หมายถึง 1000 (10²) ตารางที่ 1-2 แสดงค่าตัวคูณ (ยกกำลังจาก 10), คำอุปสรรค ที่สอดคล้องกัน และสัญลักษณ์ที่ใช้แทน

 

 

 

 

 

ตารางที่ 1-1 หน่วยพื้นฐานและหน่วยเสริมในระบบหน่วย SI

สัญลักษณ์

หน่วย

ปริมาณที่วัด

 

M

Kg

S

A

K

Cd

mol

หน่วยพื้นฐาน

เมตร, Meter

กิโลกรัม, Kilogram

วินาที , Second

แอมแปร์, Ampere

เคลวิน, Kelvin

แคนเดล่า, Candela

โมล, Mole

 

ความยาว

มวล

เวลา

กระแสไฟฟ้า

อุณหภูมิ

ความเข้มแห่งการส่องสว่าง

ปริมาณของสาร

 

Rad

rs

หน่วยเสริม

เรเดียน, radian

สเตอเรเดียน, Steradian

 

มุมในระนาบ

มุมในของแข็ง

 

ตารางที่ 1-2 คำอุปสรรคและตัวคูญแปลงหน่วยในระบบหน่วย SI

ตัวคูณแปลงหน่วย

คำอุปสรรค

สัญลักษณ์

                                                1,000,000,000,000 = 10

เทอรา, tera

T

1,000,000,000 =  10

จิกะ, giga

G

1,000,000 = 10

เมกะ, mega

M

1,000 = 10

กิโล, kilo

K

100 = 10

เฮกโต, hector

H

10 = 10

เดคะ, deci

DA

0.1 = 10

เดซิ, deci

D

0.01 = 10

เซนติ, centi

C

0.001 = 10

มิลลิ, milli

M

0.000 001 = 10

ไมโคร, micro

Q

0.000 000 001 = 10

นาโน, nano

M

0.000 000 000 001 = 10

พิโค, pico

P

0.000 000 000 000 001 = 10

เฟมโต, femto

F

0.000 00 000 000 000 001 = 10

อัตโต, atto

a

 

 

 

1.8 ตัวคูณแปลงหน่วย

                 เนื้อหาในส่วนนี้ จะเป็นตัวคูณแปลงหน่วยระหว่างระบบหน่วย SI และหน่วยอังกฤษ ระบบหน่วยอังกฤษ จะใช้หน่วย ฟุต, ปอนด์, และวินาทีเป็นหลัก เป็นหน่วยที่ใช้กันทั่วไป สหราชอาณาจักร

 

ตารางที่  1-3  ตัวคูณแปลงหน่วย  และตัวคูณกลับ

Multiply

By conversion factor

To get

Reverse  factor

Mass

Ounces (oz)

Pounds (lb)

Tons (ton)

Slugs(slug)

 

2.835 x 10-2  kg/oz

0.4536 kg/lb

9.072 x 102  kg/ton

14.59 kg/slug

 

Kilograms (kg)

Kilograms (kg)

Kilograms (kg)

Kilograms (kg)

 

35.27 oz/kg

2.205 lb/kg

1.102 x 10-3  ton/kg

6.854 x 10-2  slug/kg

Length

Inch(in)

Feet(ft)

Yard(yd)

Miles(mi)

 

2.540 x 10-2 m/in

0.3048 m/ft

0.9144 m/yd

1.609 x 103 m/mi

 

Meters (m)

Meters (m)

Meters (m)

Meters (m)

 

39.37 in/m

3.281 ft/m

1.094 yd/m

6.215 x 10-4 mi/m

Force

Pound-force(lbf)

Poundal(poundal)

Kips(kips)

 

4.448 N/lbf

0.1383 N/poundal

4.448 x 103 N/kips

 

Newtons (N)

Newtons (N)

Newtons (N)

 

0.2248 lbf/N

7.231 poundal/N

2.248 x 10-4 kips/N

Moment

Inch – pounds(in . lbf)

Foot – pounds(ft . lbf)

 

0.1130

1.356 

 

Newton-meter

Newton-meter

 

8.850

0.7375

Pressure or stress

Atmosphere (standard) (atm)

Pound – force per square inch (psi)

Pound – force per square inch (psf)

 

1.013 x 105 Pa/atm

6.895 x 103 Pa/lbf/in2

4.788 x 101 Pa/lbf/ft2

 

Pascals (Pa)*

Pascals (Pa)

Pascals (Pa)

 

0.9872 x 10-6 atm/Pa

1.450 x 10-4 lbf/in2 /Pa

2.089 x 10-2 lbf/ft2 /Pa

Moment of inertia

Inches4(in4)

 

4.162 x 10-7 m4/in4

 

Meter4(m4)

 

2.403 x 106 in3/m3

Area

Square inches (in2)

Square feet (ft2)

Square yards (yd2)

Square miles (mi2)

Acers (acre)

 

6.452 x 10-10 m2/in2

9.290 x 10-2 m2/ft2

0.8361 m2/yd2

2.590 x 106 m2/mi2

4.047 x 103 m2/acre

 

Square  meters (m2)

Square  meters (m2)

Square  meters (m2)

Square  meters (m2)

Square  meters (m2)

 

1.550 x 103 in2/m2

10.76 ft2/m2

1.196 yd2/m2

3.861 x 10-7 mi2/m2

2.471 x 10-4 acre/m2

Volume

Cubic inches (in3)

Cubic feet (ft3)

Cubic yards (yd3)

Gallons (U.S.liquid)(gal)

Board feet (fbm)

Acre-feet (U.S.measure) (acre-ft)

 

1.639 x 10-5 m3/in3

2.832 x 10-2 m3/ft3

0.7646 m3/yd3

3.785 x 10-3 m3/gal

2.360 x 10-3 m3/fbm

1.233 x 103

 

Cubic meters (m3)

Cubic meters (m3)

Cubic meters (m3)

Cubic meters (m3)

Cubic meters (m3)

Cubic meters (m3)

 

6.101 x 104 in3/m3

35.31 ft3/m3

1.308 yd3/m3

2.642 x 102 gal/m3

4.237 x 102 fbm/m3

8.110 x 10-4

 

 

 

Multiply

By conversion factor

To get

Reverse  factor

Mass  density

Pounds per cubic  inch (lb/in3)

Pounds per cubic  feet (lb/ft3)

Pounds per cubic  yard (lb/yd3)

 

2.768 x 104 kg/m3/lb/in3

16.02 kg/m3/lb/ft3

0.5933 kg/m3/lb/yd3

 

Kilograms per cubic meter (kg/m3)

Kilograms per cubic meter (kg/m3)

Kilograms per cubic yard (kg/m3)

 

3.613 x 10-5 lb/in3/kg/m3

6.242 x 10-2 lb/ft3/kg/m3

1.685 lb/kg/m3

Speed

Inches per  second (in/s)

Feet  per  second (ft/s)

Miles  per  hour  (mi/h)

 

2.54 x 10-2 m/s/in/s

0.3048 m/s/ft/s

0.4470 m/s/mi/h

 

Meters per second (m/s)

Meters per second (m/s)

Meters per second (m/s)

 

39.37 in/s/m/s

3.281 ft/s/m/s

2.237 mi/h/m/s

Acceleration

Inches  per  second squared (in/s2)

Feet  per  second squared (ft/s2)

Free-fall  standard (g) (ft/s2)

 

2.54 x 10-2 m/s/in/s2

0.3048 m/s2/ft/s2

9.807 m/s2/ft/s2

 

Meters per second  squared (m/s2)

Meters per second  squared (m/s2)

Meters per second  squared (m/s2)

 

39.37 in/s2/m/s2

3.281 ft/s2/m/s2

0.1020 ft/s2/m/s2

Power

Btu  per  hour (Btu/h)

Horsepower  (hp)

 

0.2931 W/Btu/h

7.457 x 102 W/hp

 

Watts

Watts

 

3.412 Btu/h/W

1.341 x 10-3 hp/W

Angles

Degrees (deg)

Minutes (min)

Seconds (s)

 

1.745 x 10-2 rad/deg

2.909 x 10-4 rad/min

4.848 x 10-6 rad/s

 

Radians (rad)

Radians (rad)

Radians (rad)

 

57.31 deg/rad

3.438 x 103 min/rad

2.063 x 105 s/rad

 

อาณานิคมในอดีต รวมทั้งสหรัฐอเมริกาด้วย ในปัจจุบัน ระบบนี้ไม่ค่อยมีใช้มากนักในนอกประเทศสหรัฐอเมริกา หนังสืออ้างอิงต่าง ๆ จะมีการตีพิมพ์ตารางเปลี่ยนหน่วย ระหว่างสองระบบนี้ ตารางที่จัดได้ว่าสมบูรณ์ที่สุดเป็นของ สถาบันมาตรฐานแห่งชาติสหรัฐอเมริกา โดยตีพิมพ์ลงในเอกสาร ANSI Z210.1-1976  American Standard Metric Practice  ตารางเดียวกันนี้ ได้รับการตีพิมพ์ซ้ำลงใน เอกสารต่อๆ มาอีกหลายเล่ม จากหลายๆ หน่วยงาน ตารางที่ 1-3 นี้ได้แสดงเท่าที่จำเป็นใช้ในหนังสือเล่มนี้ ตารางนี้แสดงค่าตัวคูณแปลงหน่วย ในการเปลี่ยนค่าจากระบบหน่วยอังกฤษ เป็นหน่วย SI  และจากหน่วย SI เป็นหน่วยอังกฤษ โปรดจำไว้ว่าค่าตัวคูณแปลงหน่วยสองค่านี้ จะเป็นส่วยกลับของกันและกัน

 

 

 

ตัวอย่างที่ 1.8         เปลี่ยนค่า 6.00  ฟุต เป็นหน่วย  SI

วิธีทำ                      ( 6.00 ft)(0.3048 m/ft)         =   10829  m

                        โปรดสังเกตว่า ในทุกกรณี หน่วยที่จะแปลงและหน่วยตัวคูณจะตัดกันไป และเหลือเพียงหน่วยใหม่ที่ต้องการ

                         เมื่อหน่วยแรกของคำตอบ มีค่าน้อยกว่าตัวแรกของข้อมูลที่มีตัวเลขนัยสำคัญน้อยที่สุด ต้องมีการเพิ่มตัวเลขนัยสำคัญเพิ่มเติมขึ้นมาอีก 1 ตัวในคำตอบ

ตัวอย่างที่ 1.9         เปลี่ยนค่า 6.00 เมตร เป็นหน่วยอังกฤษ

วิธีทำ                       (6.00 m)(3.281 ft/m)  =    19.69  ft

ตัวอย่างที่ 1.01         เปลี่ยนค่า  16.8 ปอนด์ เป็นกิโลกรัม

วิธีทำ                       (16.8 lb)(0.4536 kg/lb)    =     7.62  kg

 

ตัวอย่างที่ 1.11     เปลี่ยนค่า  25  เมตร เป็นหลา

วิธีทำ                       (25 m)(1.09 yd/m) = 27yd

ตัวอย่างที่ 1.12      เปลี่ยนค่า 2.5 ไมล์  เป็นเมตร

วิธีทำ                        (2.5 mi)(1.609 ×10³ m/mi) = 4.02 ×10³ m

                      โปรดสังเกตว่า คุณจำเป็นต้องมีการตัดสินใจในการเลือกจำนวนตัวเลขนัยสำคัญ ตัวเลข 2.5ไมล์ ดูเหมือนจะมีความแม่นยำเพียงพอ มากกว่า 1 ใน 100 ของไมล์ ในทางปฏิบัติ ต้องพิจารณาความสามารถในการวัดด้วย ในบางครั้งค่าที่ได้จากการวัดอาจก่อให้เกิดความสงสัยเคลือบแคลงในความเที่ยงตรง เราอาจจำเป็นที่ต้องเพิ่มเลขนัยสำคัญเพิ่มขึ้นมาอีก 1 ตัวก็ได้

ตังอย่างที่ 1.13           เปลี่ยนค่า  75 ปอนด์ เป็นนิวตัน

วิธีทำ                          (75 lbf)(4.45 N/lbf)  =   334  N

ตัวอย่างที่ 1.14            เปลี่ยนค่า  175 นิ้ว-ออนซ์ เป็น  นิวตัน-เมตร

วิธีทำ                          (175 in-oz)(1 lb/16 oz)  =   10.94  in-lb

 

โปรดจำไว้ว่าเศษส่วน 1 lb/16  oz  นั้นเท่ากับหนึ่ง การคูณด้วยตัวแปรตัวนี้ไม่ทำให้ข้อมูล นั้นมีค่าเปลี่ยนแปลง เมื่อความสัมพันธ์  1 lb = 16  oz เป็นข้อกำหนดตายตัว ตามกฎแล้วอนุญาตให้ สามารถคูณตัวเลขนัยสำคัญที่มีเลขศูนย์กี่ตัวก้อได้ ดังนั้นข้อมูลที่ต้องการมีตัวเลขนัยสำคัญน้อยที่สุด สามารถหาได้ทั่วไป

ตัวอย่างที่ 1.15      เปลี่ยนค่า  25,000 ปอนด์ต่อตารางนิ้ว เป็นค่า นิวตันต่อตารางเซนติเมตร

วิธีทำ                     ตารางที่ 1-3 ไม่ได้มีตัวคูณแปลงหน่วยแสดงไว้ อย่างไรก็ตาม ตามเนื้อหาที่กล่าว ไว้ในหัวข้อที่ 1.7 หนึ่งเซนติเมตร เท่ากับ 1 × 10² เมตร ดังนั้น 1 เซนติเมตร ยกกำลังสอง  เท่ากับ 1×10 เมตร

                                     (25,000 lb/in²)(6.90×10³ (N/m²)   =  17,200 N/cm

                                           (Ibf/in²)  (1 x 10 m2/cm)

โปรดสังเกตว่า ตัวคูณแปลงหน่วยที่เพิ่มขึ้นมามีค่าเท่ากับหนึ่ง เมื่อมันมาจากข้อกำหนด มันสามารถละทิ้งไปในได้จากการพิจารณาเลขนัยสำคัญ คำตอบมีเลขนัยอยู่ 3 ตัว ทั้งนี้เนื่องจากตัวเลขแรกของคำตอบมีค่าน้อยกว่าตัวเลขแรกของ 25,000

 

1.9 สรุปทบทวนพื้นฐานทางคณิตศาสตร์

การแก้ปัญหาในสถิตยศาสตร์และกลศาสตร์ความแข็งแรงของวัสดุ จำเป็นต้องที่จะมีความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ในเรื่องพีชคณิต เรขาคณิตบนระนาบ และบางหัวข้อในตรีโกนมิติ เนื้อหาในส่วนนี้จะสรุปทบทวนหัวข้อดังกล่าวนี้

 

พีชคณิต

เมื่อพบปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสมการพีชคณิต ให้ดำเนินการตามขั้นตอนดังนี้

ขั้นที่ 1 เลือกสูตรที่ต้องการใช้ในรูปแบบทั่วไป

ขั้นที่ 2 กำหนดตัวแปรที่ทราบค่าและที่ไม่ทราบค่าแต่ต้องการจะคำนวณหา

ขั้นที่ 3 ปรับเปลี่ยนแก้ไขสมการใหม่เพื่อที่จะให้ได้ตัวแปรคำตอบ

ขั้นที่ 4 แทนค่าตัวแปรที่ทราบค่าพร้อมกับหน่วยของมัน ลงไปในสมการที่จัดรูปแบบแล้ว

ขั้นที่ 5 ขีดฆ่าหน่วยทิ้งเท่าที่ทำได้ แล้วตรวจสอบหน่วยที่ยังเหลืออยู่ ตรวจดูว่าสอดคล้องกับคำตอบที่ต้องการหรือไม่ ถ้าหน่วยที่ยังเหลืออยู่ไม่เหมาะสมกับคำตอบที่ต้องการ แสดงว่าขั้นตอนที่ผ่านมามีการผิดพลาดขึ้น จำเป็นต้องมีการตรวจสอบจุดที่ผิดพลาดนั้น ก่อนที่จะแก้สมการต่อไป

ขั้นที่ 6 แก้สมการที่ได้เขียนสมการไว้แล้ว

ขั้นที่ 7 ปรับเศษหรือปรับค่าของคำตอบที่ได้ตามความเหมาะสม และเป็นไปตามกฎเลขนัยสำคัญ และกฎการปรับเศษ

ขั้นตอนที่แสดงไว้ให้นี้เป็นแนวทางปฏิบัติโดยทั่วไป ขั้นตอนทุกขั้นตอนอาจไม่จำเป็นต้องทำทุกครั้งในการแก้สมการ บางขั้นตอนมีในปัญหาอยู่แล้ว โดยไม่มีผลกระทบใดๆต่อการแก้สมการโดยรวมปัญหา ในทางปฏิบัติในบทหลังๆ อาจจะต้องมีเพิ่มขั้นตอนบางอย่างขึ้นมาอีก กฎเกณฑ์สำคัญที่สุดในการแก้ปัญหาคือต้องมีการให้เหตุผล ในการดำเนินการแต่ละขั้นตอน ทุกครั้ง ขณะที่กำลังแก้สมการอยู่นั้น ต้องมีการตรวจสอบหน่วยตัวเลข สมการ ว่าสมเหตุสมผลและเป็นไปได้หรือไม่

ตัวอย่างต่อไปนี้ แสดงถึงกระบวนการทางพีชคณิตที่จำเป็นในการแก้ปัญหา และมรอยู่ในการแก้ปัญหาในสถิตยศาสตร์และกลศาสตร์ความแข็งแรงทนของวัสดุ สมการที่มีใช้ในตัวอย่างนี้จะกล่าวถึงในบทหลังๆ แต่ละปัญหาจะแสดงการวิเคราะห์มิติ การเปลี่ยนหน่วย และการปัดเศษด้วย

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 1.16           c²=a² + b²  (ขั้นตอนที่ 1)

หาค่า c เมื่อ    a = 24 Ib           b = 16 Ib     (ขั้นตอนที่ 2)

วิธีทำ                  c  = a² + b²

                              = 24²Ib² + 16²Ib²

                    = 576 IB² + 256 Ib²

                               = 832 Ib²

                               = 28.8 Ib

                               = 29 Ib                        ตอบ  (ขั้นตอนที่ 7)

 

ตัวอย่างที่ 1.17        a/m = b/n, หา b เมื่อ  a = 16.5 N, m = 0.4762, n = 0.8189

วิธีทำ                       b = an/m                =(16.5 N)(0.8189)/(0.4762)

                                   =28.37 N            = 28.4 N

 

ตัวอย่างที่ 1.18         F = Fa + Fb +Fc หา F เมื่อ Fa = 1250 Ib, Fb = 7510 Ib และ Fc = 98 Ib

วิธีทำ                        F = 1250 Ib + 7510 Ib + 98 Ib        = 8858 Ib = 8860 Ib 

โปรดสังเกตวา มีเลขนัยสำคัญเพิ่มขึ้นหนึ่งตัว อยู่ในคำตอบ ดูตัวอย่างที่ 1.8

ตัวอย่างที่ 1.19          Rr = Tt + Pp หา  R เมื่อ r  =  0.61 m , T = 47 N, t = 1.40 N, P = 135 N และ p = 0.192 m

วิธีทำ                         R =  (Tt +Pp)/ r   =  [  (47 N × 1.40 m) + (135 N × 0.192 N) ] / 0.61 m

                         =  [ 65.8 N + 25.92 N ]/0.61    = 150.4 N      =   150.  N

                 โปรดสังเกตว่า  จุดทศนิยมที่ตามหลังศูนย์ในคำตอบ บ่งบอกความเป็นเลขนัยสำคัญ

ตัวอย่างที่ 1.20           f = F/N  หา f เมื่อ F = 16.4 lb  และ N = 345 lb

วิธีทำ                          f = 16.4 lb / 345  lb    = 0.04754      =  0.0475

                          โปรดสังเกตว่า เลขศูนย์ไม่เป็นตัวเลขนัยสำคัญ และหน่วยทุกหน่วยถูกตัดทิ้งหมด ทำให้ในคำตอบ  ไม่มีหน่วยอยู่

ตัวอย่างที่  1.21            H = wL ² /8s หา  H เมื่อ w = 0.50 kN/m, L = 4.5 m และ s = 1.25 m

วิธีทำ                           H = [ (0.50 kN/m)(4.5 ² m ² ) ] / (8 × 1.25 m)

                          =  1.012 kN   =  1.01  kN

ตัวอย่างที่ 1.22             p = wh หา p เมื่อ w =  62.5 lb/ft ³  และ  h = 4.0 ft

วิธีทำ                            p = (62.5 lb)(4.0 ft)       =  250lb/ft²

 

 

 

ตัวอย่างที่ 1.23              s = P/A หา A เมื่อ  s = 14.0 MPa เมื่อ  P = 10.4 kN

หมายเหตุ โดยนิยามแล้ว 1 Pa = 1 N/m² หน่วยเหล้านี้ สามารถสลับไปมากันได้

                                      1 MPa = 1 × 10 N/m²              1 kN = 1 × 10 ³ N

วิธีทำ                             A = P/s  =  (10.4 × 10 ³ N)               

ตัวอย่างที่ 1.24              € =  §/L หา L เมื่อ € = 0.0024 นิ้ว/นิ้ว และ    § = 0.125 นิ้ว

หมายเหตุ  หน่วย นิ้ว/นิ้ว เป็นหน่วยที่ใช้กันทั่วไปของการเปลี่ยนรูปหนึ่งหน่วย โดยทางพีชคณิตแล้วมันมีมีหน่วยแต่อย่างใด

วิธีทำ                            L = §/€ = (0.125 in)/(0.0024) = 52.1 in = 52 นิ้ว  (4.34 ฟุต )

ตัวอย่างที่  1.25             § = PL/AE หา § เมื่อ P = 10.0 kips, L = 16 ฟุต , A = 35.5 นิ้ว² และ  E = 28 × 10  psi

หมายเหตุ   kips  เป็นหน่วยทางวิศวกรรมระบบอังกฤษแบบเก่า หน่วยนี้แทน 1000 lbf (1กิโลปอนด์)                                                    ]                       § = [ (10 × 10³ lbf)(16 ft) ]

                            [ ( 35.3 in )(28 × 10 lbf/in) ]

                                                                                      = 0.162 × 10 ft      =   1.6 × 10 ft ( 1.9 × 10)

ตัวอย่างที่  1.26            s = Eœt หา E เมื่อ s = 120 x 10 Pa, œ = 18 x 10 per C และ t = 75 C

วิธีทำ                           E = s/œ                    = [120 x 10 Pa]

                                                                  [ (18 x 10 /C) (75 C)]

                                     = 0.0889 x 10 Pa                   =8.9 x 10 Pa (89 GN/m²

ตัวอย่างที่ 1.27            P = s1(A1 + nA2)  หา S1 เมื่อ P = 50 kN, A1 = 3.142 x 10  m², A2 = 3.927 x 10  และ n = 1.82

วิธีทำ                           s = p/(A1 + na2)

                                      =                          (50.kN)

                                               [ (3.14 x 10-4 m²) + (1.82 x 3.93 x 10  m²)]

                                      = 4.86 x 10 kN/m²                  =48.6 MN/m² (MPa)

หมายเหตุ มีเพิ่มเลขนัยสำคัญขึ้น 1 ตัว ตามตัวอย่าง ที่ 1.8

ตัวอย่างที่ 1.28             st = pd/2t หา t เมื่อ s1 = 20,000 psi, p = 500 และ d = 6.0 in.

วิธีทำ                            t = pd/2s1

                                       = [ (500 psi)(6.0 in) ]/[ (2)(20,000 psi) ] = 0.75 นิ้ว

โปรดสังเกตว่า มันเป็นการยากที่จะพิจารณาเลขนัยสำคัญเช่นในตัวอย่างนี้ เมื่อ S1 และ p มีเลขนัยสำคัญมากกว่า 1 ตัว เมื่อไม่แน่ใจให้เพิ่มเลขนัยสำคัญขึ้นอีก 1 ตัว

 

 

 

ตัวอย่างที่ 1.29   Tmax=[(30.0 N/m)(300.m)]/2 ƒ(L²/16s²)  + 1 ] หา Tmax เมื่อ w = 30.0 N/m, L = 3000 m และ s =10.0m

วิธีทำ                   Tmax=[(30.0 N/m(300. m)]/2  ƒ(300² m²)/(16 x 10² m²) + 1

                                     =(4500 N)(7.566) = 34047 N = 34000 N

 

ตัวอย่างที่ 1.30           log10 (Tl/Ts) = fø/132 หา ø เมื่อ Tl = 90.Ib, Ts = 50. Ib และ f =0.374

วิธีทำ                          ø  = (132) log10(Tl/Ts)

                                  F

                                    =(132) (0.225) / (0.374) = 90.

 

โปรดสังเกตว่า เมื่อใดที่มีมุมอยู่ในสมการ ต้องปฏิบัติเหมือนกับสัญญาณเตือน และต้องหาค่าออกมาว่าต้องการหน่วยของมุมเป็นองศาหรือเป็นเรเดียน พิจารณาจากการวิเคราะห์สูตร หน่วยขององศามักจะพิจารณาว่าไม่มีหน่วย ดังนั้นจึงไม่สามารถวิเคราะห์มิติได้ตามปกติ ตัวอย่างที่ผ่านมาอ้างอิงตามสูตร ที่ยึดใช้องศา เป็นหลัก ตัวอย่างต่อไปนี้ เป็นการใช้สูตรเดียวกันแต่ใช้หน่วย ที่เป็นเรเดียน

ตัวอย่างที่ 1.31        log (Tl/Ts) = fØ/132  หา Ø เมื่อ Tl = 90. Ib Ts =50. Ib และ f= 0.374

วิธีทำ                       Ø = (132) [log(Tl/Ts)]                    =[log(90. Ib/50. Ib)]         

                                                   f                                                0.374

                                 = 0.588 / 0.374 = 1.57 rad              = 1.6 rad

โปรดสังเกตว่าปัญหาในตัวอย่างที่ 1.30 และ 1.31 เหมือนกัน และคำตอบที่ได้ก็เหมือนกัน เมื่อ 1.6 rad = 90ํ และสังเกตว่าลอกาลิทึมใช้ฐานคนละฐานกัน จุดนี้อาจจะเป็นจุดที่ทำให้ผิดพลาดได้ถ้าไม่ระมัดระวัง

 

ตัวอย่างที่ 1.32        Ss = TD/2J ; J = 1/2  ¶R4  ;D = 2R  หา S เมื่อT =716 x 10³ N-m และ D = 400 mm

 หมายเหตุ J สามารถคำนวณก่อนแล้วค่อยนำมาแทนค่าในสมการแรก หรือจะรวมสมการทั้งสองเข้าด้วยกันก็ได้

วิธีทำที่ 1         R = D/2 + 400.mm/2 = 200.mm =0.200 m

                        J =1/2 ¶(0.2004 m) = 0.0008¶ m4

                        Ss= [ (716 x 10³ N-m)(0.400 m) ]             

                                   (2 x 8.00 x 10 ¶ m m²)

                           = 5.70 x 10 N/m² (57.0 MPa)

วิธีทำที่ 2          Ss = T2r/ (2)(1/2¶ R´)

                             =     (716 x 10³ N-m)

                                   (1/2)(¶)(8.00 x 10 N/m²)

                             = 57.0 x 10 N/m² (57.0 MPa)

ตัวอย่างที่ 1.33    Ø = TL/GJ (Ø ในหน่วยเรเดียน), Ss = TD/2J, J = 1/2  ¶R  หา Ø เมื่อ D = 2.0 in, L = 3.0 ft Ss = 10,000 pi และ G = 12,000,000 psi

วิธีทำ              T = (Ss)(2J) /D

                        Ø = [ (Ss)(2J)(L)/(D) ]                = (Ss)(2J)

                                            JG                                   DG

                             =     (10 psi)(2)(3.0 ft)

                                [ (2.0 in)(1 ft/12 in)(2 x 10² psi) ]

                             = 3.0 x 10² rad (1.7)

ตัวอย่างที่ 1.34      hp = 2¶ NT/396 000 สมการนี้เป็นตัวอย่างสมการที่มักพบบ่อย ในคู่มือและในตำราต่างๆ สมการนี้มีระบบหน่วยไม่สมบูรณ์เหมือนสมการทั่วไป เพื่อที่จะตรวจสอบถึงหน่วยได้ จะต้องมีการพิสูจน์ที่มาของสมการนี้การ สมการนี้ใช้สำหรับคิดคำนวณ กำลังม้า(hp) เมื่อรอบการหมุนเป็นหน่วย รอบต่อนาที (rev/min, N) และแรงเป็นบิดเป็นหน่วยนิ้ว-ปอนด์  (inch-pound) ถ้าได้แทนค่าต่างๆ ถูกต้องแล้ว หน่วยของแรงม้าจะออกมาเป็น รอบ นิ้ว ปอนด์ ต่อนาที สมการนี้ใช้ได้เพราะว่า 2¶ และ 396000 เป็นตัวแปรแปลงหน่วยเท่านั้นแต่ละค่าจะอ้างอิงมาจากคำนิยาม และเท่ากับค่า 1

rad = 1 r                                                        396 000 in-Ib/min = 1 hp

 2¶ rad = 1                                                          396 000 in-Ib/min = 1

      1 r                                                                             1 hp

หาค่า N เมื่อ N = 525 รอบต่อนาที และ T = 5950 นิ้ว ปอนด์

วิธีทำ                          hp = (2¶ rad)/r) (525 r/min)(5950 in-Ib)

                                                   396 000 in-Ib/min/hp

 

 

1